We prove that a two sided sub-Gaussian estimate of the heat kernel on an infinite weighted graph takes place if and only if the volume growth of the graph is uniformly polynomial and the Green kernel admits a uniform polynomial decay.

On considère la classe des variétés riemanniennes complètes non compactes dont le noyau de la chaleur satisfait une estimation supérieure et inférieure gaussienne. On montre que la transformée de Riesz y est bornée sur L p, pour un intervalle ouvert de p au-dessus de 2, si et seulement si le gradient du noyau de la chaleur satisfait une certaine estimation L p pour le même intervalle d’exposants p. One considers the class of complete non-compact Riemannian manifolds whose heat kernel satisfies Gaussian estimates from above and below. One shows that the Riesz transform is L p bounded on such a manifold, for p ranging in an open interval above 2, if and only if the gradient of the heat kernel satisfies a certain L p estimate in the same

Abstract. In this article, we obtain some further estimates of fundamental solutions comparing to Chau-Tam-Yu [1] and give some applications of the estimates on asymptotic behaviors of fundamental solutions. 1.