Geometric complexity theory (GCT) is an approach to the P vs. NP and related problems suggested in a series of articles we call GCTlocal [27], GCT1-8 [30]-[35], and GCTflip [28]. A high level overview of this research plan and the results obtained so far was presented in a series of three lectures in the Institute of Advanced study, Princeton, Feb 9-11, 2009. This article contains the material covered in those lectures after some revision, and gives a mathematical overview of GCT. No background in algebraic geometry, representation theory or quantum groups is assumed. For those who are interested in a short mathematical overview, the first lecture (chapter) of this article gives this. The video lectures for this series are available at:

Geometric complexity theory (GCT) is an approach to the P vs. NP and related problems. This article gives its complexity theoretic overview without assuming any background in algebraic geometry or representation theory. 1

Här försöker jag göra en kort och informell översikt över historien bakom NPkompletta problem, hur de p˚averkar AI-omr˚adet, och hur man brukar göra för att hantera dem när de dyker upp 1. Fr˚agan om huruvida man kan lösa NP-kompletta problem med en algoritm som har polynomiell tidskomplexitet, eller huruvida P=NP är ett av Millennieproblemen som Clay Mathematics Institute instiftat ett pris p˚a en miljon dollar för en lösning p˚a. 2 Vad innebär NP-kompletthet? Att ett problem är NP-komplett innebär att det är i komplexitetsklassen NP och att alla problem i NP kan reduceras till det i polynomiell tid. Men vad betyder det egentligen? NP St˚ar för den klass problem som kan lösas av en icke-deterministisk turingmaskin i polynomiell tid (i förh˚allande till input-storleken). En ickedeterministisk turingmaskin är en tilltänkt variant av den klassiska turingmaskinen, men som är möjlighet att välja flera “beräkningsvägar ” samtidigt. Man kan allts˚a säga att NP betecknar den klass av problem där det är möjligt att verifiera en lösning i polynomiell tid (att jämföra med P som betecknar den klassa problem där man kan finna en lösning i polynomiell tid). Att ett problem är NP-komplett innebär att alla andra problem i NP kan reduceras till en instans av det. NP-kompletta program är p˚a n˚agot vis problem som har en s˚a flexibel struktur att i stort sett vad som helst kan kodas in i dem [5]. Reducering Innebär att man beskriver ett problem i ett annat. När man visar att ett problem är NP-komplett m˚aste man kunna göra detta i polynomiell 1 En stor del av uppsatsens material är hämtat fr˚an översikts-artiklar i The Computational Complexity Column, p˚a adressen: