We give the first nontrivial model-independent time-space tradeoffs for satisfiability. Namely, we show that SAT cannot be solved simultaneously in n 1+o(1) time and n 1\Gammaffl space for any ffl ? 0 on general random-access nondeterministic Turing machines. In particular, SAT cannot be solved deterministically by a Turing machine using quasilinear time and p n space. We also give lower bounds for log-space uniform NC 1 circuits and branching programs. Our proof uses two basic ideas. First we show that if SAT can be solved nondeterministically with a small amount of time then we can collapse a nonconstant number of levels of the polynomial-time hierarchy. We combine this work with a result of Nepomnjascii that shows that a nondeterministic computation of super linear time and sublinear space can be simulated in alternating linear time. A simple diagonalization yields our main result. We discuss how these bounds lead to a new approach to separating the complexity classes NL a...

vii Introduction ix 1 Tensor and Linear Time 1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1.1 Almost Equational Specification : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1.1.1 Sketches : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1.1.2 Orthogonality : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 1.1.3 Essentially Algebraic Specification : : : : : : : : : : : : 8 1.2 Tensor and System T : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 1.2.1 Serial Composition : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 1.2.2 Parallel Composition : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 1.2.3 Unary Numbers : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 1.2.4 System T : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 1.3 Comprehensions and Tiers : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 1.3.1 Comprehensions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 1.3.2 Extents : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 1.3.3 Dyadic Numbers : : : : : : : : : : : : : : : ...

We survey the recent lower bounds on the running time of general-purpose random-access machines that solve satisfiability in a small amount of work space, and related lower bounds for satisfiability in nonuniform models.