Contents 1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 2 The expressive power of second order Logic : : : : : : : : : : : 3 2.1 The language of second order logic : : : : : : : : : : : : : 3 2.2 Expressing size : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 2.3 Defining data types : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 2.4 Describing processes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 2.5 Expressing convergence using second order validity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 2.6 Truth definitions: the analytical hierarchy : : : : : : : : 10 2.7 Inductive definitions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 3 Canonical semantics of higher order logic : : : : : : : : : : : : 15 3.1 Tarskian semantics of second order logic : : : : : : : : : 15 3.2 Function and re

Abstract not found

noch fiber den Gesetzen wacht und kreist-wie blind erscheint, wet Sch6pfertum verlacht! Wit kennen kaum den kleinsten Teil davon: Gesetz ist Wunder, Zahl ist Weltenton.

This paper was written in honor of Charles Parsons, from whom I have profited for many years in my study of the philosophy of mathematics and expect to continue profiting for many more years to come. In particular, listening to his lecture on "Sets and classes", published in [Parsons, 1974], motivated my first attempts to understand proper classes and the realm of transfinite numbers. I read a version of the paper at the APA Central Division meeting in Chicago in May, 1998. I thank Howard Stein, who provided valuable criticisms of an earlier draft, ranging from the correction of spelling mistakes, through important historical remarks, to the correction of a mathematical mistake, and Patricia Blanchette, who commented on the paper at the APA meeting and raised two challenging points which have led to improvements in this final version