We prove that computing the product of two n × n matrices over the binary field requires at least 2.5 n 2 - o ( n 2 ) multiplications. Key Words : matrix multiplication, arithmetic complexity, lower bounds, linear codes. 1. INTRODUCTION Let x = ( x 1 , . . . , x n ) T and y = ( y 1 , . . . , y m ) T be column vectors of indeterminates. A straight-line algorithm for computing a set of bilinear forms in x and y is called quadratic ( respectively bilinear ), if all its non-scalar multiplication are of the shape l ( x , y ) . l ( x , y ) , (respectively l ( x ) . l ( y ) ) where l and l are linear forms of the indeterminates. 1 In this paper we establish the new 2.5 n 2 - o ( n 2 ) lower bound on the multiplicative complexity of quadratic algorithms for multiplying n × n matrices over the binary field Z 2 . Let M F ( n , m , k ) and M ## F ( n , m , k ) denote the number of multiplications required to compute the product of n ×m and m ×k matrices by means of quadratic ...

Abstract. We survey results in algebraic complexity theory, focusing on matrix multiplication. Our goals are (i) to show how open questions in algebraic complexity theory are naturally posed as questions in geometry and representation theory, (ii) to motivate researchers to work on these questions, and (iii) to point out relations with more general problems in geometry. The key geometric objects for our study are the secant varieties of Segre varieties. We explain how these varieties are also useful for algebraic statistics, the study of phylogenetic invariants, and quantum computing.

L’évaluation numérique à grande précision de constantes comme π, e, γ, ln 2, etc., de fonctions élémentaires comme exp et arctan, puis de fonctions spéciales comme Γ ou ζ est un problème classique. D’un point de vue informatique, « grande précision » s’oppose à précision fixe, mais sous-entend aussi que l’on cherche des algorithmes asymptotiquement efficaces quand le nombre de chiffres demandés grandit. Le développement d’algorithmes de complexité quasilinéaire en le nombre de chiffres du résultat remonte aux années 1970, avec par exemple les travaux de Richard Brent, Eugene Salamin ou R. William Gosper. Les fonctions holonomes sont les solutions d’équations différentielles linéaires à coefficients polynomiaux. Leurs propriétés élémentaires sont bien connues depuis le dix-neuvième siècle, mais elles ont pris une place importante en combinatoire (comme séries génératrices) et en calcul formel (en tant que classe de fonctions bénéficiant de propriétés algorithmiques agréables, tant du point de vue de la calculabilité que de celui de la complexité) depuis les années 1980. Parmi les responsables de ce regain d’intérêt, on peut citer Richard Stanley, Leonard Lipshitz et Doron Zeilberger. Mon travail de stage s’incrit dans une démarche générale du projet Algo de développer pour toute la classe des fonctions holonomes une algorithmique efficace utilisant

This article describes the implementation in the software package NumGfun of classical algorithms that operate on solutions of linear differential equations or recurrence relations with polynomial coefficients, including what seems to be the first general implementation of the fast high-precision numerical evaluation algorithms of Chudnovsky & Chudnovsky. In some cases, our descriptions contain improvements over existing algorithms. We also provide references to relevant ideas not currently used in NumGfun.

sous la direction de Bruno SALVY Génération automatique de procédures numériques pour les fonctions D-finies Rapport de stage de Master 2

The complexity of matrix multiplication has attracted a lot of attention in the last forty years. In this paper, instead of considering asymptotic aspects of this problem, we are interested in reducing the cost of multiplication for matrices of small size, say up to 30. Following previous work in a similar vein by Probert & Fischer, Smith, and Mezzarobba, we base our approach on previous algorithms for small matrices, due to Strassen, Winograd, Pan, Laderman,... and show how to exploit these standard algorithms in an improved way. We illustrate the use of our results by generating multiplication code over various rings, such as integers, polynomials, differential operators or linear recurrence operators. Keywords: matrix multiplication, small matrix, complexity.