Abstract. On the face of it, Hilbert’s Program was concerned with proving consistency of mathematical systems in a finitary way. This was to be accomplished by showing that that these systems are conservative over finitistically interpretable and obviously sound quantifier-free subsystems. One proposed method of giving such proofs is Hilbert’s epsilonsubstitution method. There was, however, a second approach which was not refelected in the publications of the Hilbert school in the 1920s, and which is a direct precursor of Hilbert’s first epsilon theorem and a certain “general consistency result. ” An analysis of this so-called “failed proof ” lends further support to an interpretation of Hilbert according to which he was expressly concerned with conservatitvity proofs, even though his publications only mention consistency as the main question. §1. Introduction. The aim of Hilbert’s program for consistency proofs in the 1920s is well known: to formalize mathematics, and to give finitistic consistency proofs of these systems and thus to put mathematics on a “secure foundation.” What is perhaps less well known is exactly how Hilbert thought this should be carried out. Over ten years before Gentzen developed sequent calculus formalizations

Hilbert’s program is, in the first instance, a proposal and a research program in the philosophy and foundations of mathematics. It was formulated in the early 1920s by German mathematician David Hilbert (1862–1943), and was pursued by him and his collaborators at the University of Göttingen and elsewhere in the 1920s

Conférence donnée à l’Université de Genève dans le cadre de l’enseignement d’Histoire et de Philosophie des SciencesTrois problèmes classiques En règle générale, on fait appel aux mathématiciens pour trouver une solution à un problème posé. C’est par un calcul, c’est-à-dire une manipulation symbolique, et un peu d’imagination, que ceux-ci procèdent. Parfois cependant, un problème n’a pas de solution. Et ce résultat, quoique négatif, n’est pas négligeable, bien au contraire, il est d’une grande utilité. Il nous fait réfléchir sur les conditions et la nature du problème, sur sa cohérence et il nous informe sur les limites de sa solubilité, et par là, sur les limites du contexte dans lequel le problème a été posé. Imaginez que vous soyez prisonnier d’un labyrinthe et que vous soyez à la recherche d’une issue. Vous pouvez élaborer différentes stratégies pour tenter d’y arriver: par exemple de prendre toujours à gauche lorsque vous avez un choix, ou de marquer chaque carrefour atteint et d’explorer toutes les possibilités du dernier carrefour avant de retourner plus en arrière. S’il existe une issue et que votre méthode de recherche est raisonnable, vous allez