Le but de cet article est de construire sur un ensemble simplicial X des “formes différentielles ” définies sur un anneau commutatif cohérent1 k. Elles permettent de définir une nouvelle structure d’algèbre différentielle graduée2 d*(X) dite quasi-commutative, qui est quasi-isomorphe à l’algèbre des cochaînes classiques sur X (d’où la terminologie). On montre que cette structure détermine (sous certaines conditions de finitude) le type d’homotopie de X si k = Z. En particulier, les opérations de Steenrod sur la cohomologie de X, ainsi que les groupes d’homotopie de X peuvent s’en déduire par des méthodes standard d’algèbre homologique. Notre travail est donc analogue à celui de D. Quillen [24] et D. Sullivan [28] en homotopie rationnelle, où les algèbres différentielles graduées commutatives jouent un rôle essentiel. Il est aussi intimement lié à celui de M.A. Mandell sur le type d’homotopie à l’aide des E∞-algèbres [19], que nous utilisons à la fin de l’article. Cette structure quasi-commutative sur l’algèbre d*(X) enrichit considérablement la théorie classique des cochaînes (notée traditionnellement C*(X)), comme nous comptons le montrer de manière sommaire dans cette introduction. Elle consiste à se donner de manière naturelle, pour tout couple d’espaces X et Y, un sous k-module différentiel gradué d*(X) ⊗ d*(Y) de

Abstract: We introduce a new algebraic concept of a differential graded algebra which is ”almost ” commutative (ADGQ, in French). We associate to any simplicial set X an ADGQ- called D(X)- and show how we can recover the homotopy type of the topological realization of X from this algebraic structure (assuming some finiteness conditions). The theory is sufficiently general to include also ringed spaces X. The construction is by itself interesting since it uses the difference calculus (instead of the differential calculus of Sullivan’s theory) and a new type of tensor product, called ”reduced tensor product”. Although we dont have a minimal model yet, it is relatively easy to define the cup i-products and the Steenrod operations on the category of ADGQ’s. Homotopy groups can be deduced from the ”iterated Hochschild homology ” of D(X). The determination of the homotopy type from this algebraic structure uses in an essential way some results of M. Mandell.

Algebraic braided model of the affine line and difference calculus on a topological space

In [4], the first author has shown the interest of “quantum ” differential forms in Algebraic Topology. They are obtained from the usual ones by a slight change of the rules of calculus on polynomials and series. In this paper, we make a more systematic study of these new quantum differential forms. Our starting point is a commutative algebra A with an endomorphism α; the differential graded algebra of “twisted ” d-ifferential forms Ω • αA is then obtained as the quotient of the universal non-commutative differential graded algebra Ω • A, defined by A. Connes and the first author, by the ideal generated by the relations (d being the differential) da b − α(b) da. If α is the identity, we recover the classical commutative differential graded algebra of Kähler differential forms. If A = k[x] and the endomorphism α is given by α(x n) = q n x n, where q ∈ k is a “quantum” parameter, we find the differential graded algebra introduced in [4] for topological purposes. The interest of this general definition lies essentially in the existence of a remarkable braided structure R on Ω • αA, which reduces to the ordinary flip if α is the identity, in the way defined in [4], p. 2—see the precise definition below. As a matter of fact, we show at the same time its uniqueness under the condition that R(a ⊗ b) = b ⊗ a when both a and b belong to A, identified to the degree zero part of Ω • αA. If α is

As it is well known in K-theory, stabilization of matrices enables them to commute “up to homotopy”. The purpose of this short paper is to describe an analogous philosophy for cochains on a space. It is in fact a direct application of a paper of Henri Cartan [1], together with a new idea of stabilization for cochains, similar to matrices. The application below may be also deduced from a paper of J. Halperin and J. Stasheff [2] by a quite different method. This paper is part of a joint project with P. Baum about the cohomology of homogeneous spaces. Since it has some independent interest, it might be useful to present it on its own right. © 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Stabilisation et commutation des cochaînes Résumé. Comme il est bien connu en K-théorie, la stabilisation des matrices permet de les faire commuter « à homotopie près ». Dans cette Note, nous décrivons une philosophie analogue pour les cochaînes sur un espace. Celle-ci est en fait une conséquence directe d’un article de Henri Cartan [1] et d’une nouvelle idée de stabilisation des cochaînes, analogue à celle de la stabilisation des matrices. Nous donnons aussi une application qui peut être